Jag kämpade med att leta efter en enkel funktion för att flytta medeltal som hade lite flexibilitet att göra vad jag behövde. Jag skrev äntligen ett par funktioner som utökar den som baseras på filterfunktionen som rinni ger ovanför kommentaren men som själv vann inte fungera eftersom det kommer att inkludera Den aktuella observationen i 3-perioden average. Moving-medelfunktionen som innehåller den aktuella observationen. Flyttande genomsnittsfunktion som inte inkluderar den aktuella observationen. Bakåt ser man glidande genomsnittsfunktion, med undantag av nuvarande obs, baserat på h2-avläsningar som börjar h1-perioderna back. answered Aug 24 16 på 2 25. Ditt svar.2017 Stack Exchange, Inc. Moving Averages in R. Såvitt jag vet, har R inte en inbyggd funktion för att beräkna glidande medelvärden. Med hjälp av filterfunktionen kan vi dock Skriv en kort funktion för att flytta medelvärden. Vi kan då använda funktionen på data mav data, eller mav data, 11 om vi vill ange ett annat antal datapunkter än standard 5 plottning fungerar Som förväntat plott mav-data. Förutom antalet datapunkter över vilka i genomsnitt kan vi också ändra sidoperspektivet hos filterfunktionerna sidor 2 använder båda sidor, sidor 1 använder endast tidigare värden. Navigationsnavigeringsnavigering navigering. Användning av R För Time Series Analysis. Time Series Analysis. This häfte beskriver dig hur du använder R statistisk programvara för att utföra några enkla analyser som är vanliga vid analys av tidsseriedata. Denna häfte förutsätter att läsaren har viss grundläggande kunskaper om tidsserieanalys, Och huvudboken i broschyren är inte att förklara tidsserieanalys utan att förklara hur man utför dessa analyser med R. Om du är ny på tidsserieanalys och vill lära dig mer om några av de begrepp som presenteras här, Jag rekommenderar starkt Open University-boken Tidsserie-produktkod M249 02, tillgänglig från Open University Shop. I det här häftet kommer jag att använda tidsseriedatasatser som har gjorts tillfredsställande Ble av Rob Hyndman i hans tidsserie databibliotek på. Om du gillar det här häftet kan du också kolla in min broschyr på att använda R för biomedicinsk statistik och min broschyr på att använda R för multivariatanalys. Läsning av Time Series Data. Det första du vill göra för att analysera dina tidsseriedata är att läsa den i R och att plotta tidsserien. Du kan läsa data i R med hjälp av scanningsfunktionen, vilket förutsätter att dina data för successiva tidpunkter är i En enkel textfil med en kolumn. Till exempel innehåller filen data om åldersåldern av på varandra följande kungar i England, med början av William the Conqueror-källan Hipel and Mcleod, 1994. Datasatsen ser ut så här. Bara de första Linjerna i filen har visats De tre första raderna innehåller en del kommentarer på data och vi vill ignorera detta när vi läser in data i R Vi kan använda detta genom att använda skiftfunktionen för skanningsfunktionen, som anger hur många linjer Högst upp i filen för att ignorera För att läsa filen i R, ignorerar de tre första raderna, skriver vi. I detta fall har dödsåldern på 42 på varandra följande kungar i England lästs in i de variabla kungarna. När du har läst tidsseriedata till R, kommer nästa Steget är att lagra data i ett tidsserieobjekt i R så att du kan använda R s många funktioner för att analysera tidsseriedata För att lagra data i ett tidsserieobjekt använder vi ts-funktionen i R Till exempel för att lagra Data i variabel kungar som ett tidsserieobjekt i R, skriver vi. Ibland kan tidsradiotsatsuppsättningen du har har samlats in med jämna mellanrum som var mindre än ett år, till exempel månadsvis eller kvartalsvis. I det här fallet, Du kan ange hur många gånger data samlades per år genom att använda frekvensparametern i ts-funktionen. För månadsdata i tidsserien ställer du in frekvens 12, medan för kvartalsvisa tidsseriedata anger du frekvens 4. Du kan också ange Första året som uppgifterna samlades in och det första intervallet Al i det året med hjälp av startparametern i ts-funktionen. Om den första datapunkten motsvarar andra kvartalet 1986, skulle du ange start c 1986,2. Ett exempel är en dataset av antalet födda per Månad i New York City, från januari 1946 till december 1959 samlades ursprungligen av Newton Dessa data finns tillgängliga i filen Vi kan läsa in data i R, och lagra den som ett tidsserieobjekt, genom att skriva. På motsvarande sätt innehåller filen månadsförsäljning För en souvenirbutik vid en strandortstad i Queensland, Australien, för januari 1987-december 1993 ursprungliga data från Wheelwright och Hyndman 1998 Vi kan läsa in data i R genom att skriva. Plotting Time Series. När du har läst en tidsserie in i R, nästa steg är vanligtvis att göra en lista över tidsseriedata, som du kan göra med funktionen i R. För exempel, för att rita tidsserien för dödsåldern på 42 på varandra följande kungar i England skriver vi. Vi kan se från tidpunkten att denna tidsserie troligtvis skulle kunna beskrivas Ibed med hjälp av en additivmodell, eftersom de slumpmässiga fluktuationerna i data är ungefär konstanta i storlek över tiden. Likaså, för att avbilda tidsserierna för antalet födelser per månad i New York City, skriver vi. Vi kan se från denna tidsserie Att det verkar finnas säsongsmässig variation i antalet födelser per månad är det en topp varje sommar och en tråg varje vinter. Det verkar som om att denna tidsserie troligen kunde beskrivas med hjälp av en tillsatsmodell, eftersom säsongsvariationerna är ungefär konstanta I storlek över tiden och verkar inte bero på tidssekvensens nivå och de slumpmässiga fluktuationerna verkar också vara ungefär konstanta i storlek över tiden. På samma sätt, för att plotta tidsserierna för den månatliga försäljningen för souvenirbutiken vid en Beach resort town i Queensland, Australien, skriver vi. I detta fall verkar det som om en tilläggsmodell inte är lämplig för att beskriva denna tidsserie, eftersom storleken på säsongsvariationerna och slumpmässiga fluktuationer tycks öka med leve L i tidsserier Således kan vi behöva omvandla tidsserierna för att få en transformerad tidsserie som kan beskrivas med hjälp av en additivmodell. Till exempel kan vi förvandla tidsserierna genom att beräkna den naturliga loggen för de ursprungliga data. Här kan vi se att storleken på säsongsvariationerna och de slumpmässiga fluktuationerna i de logtransformerade tidsserierna verkar vara ungefär konstanta över tid och beror inte på tidssekvensens nivå. Således kan de logtransformerade tidsserierna förmodligen Beskrivas med hjälp av en tillsatsmodell. Komponeringstidsserie. Att komponera en tidsserie innebär att den separeras i dess beståndsdelar, som vanligen är en trendkomponent och en oregelbunden komponent, och om det är en säsongsbetonad tidsserie, en säsongsbetonad komponent. Komponenterande icke - Säsongsdata. A icke-säsongsbetonade tidsserier består av en trendkomponent och en oregelbunden komponent. Nedbrytning av tidsserien innebär att man försöker skilja tidsserierna i dessa komponenter, det vill säga estimat Ng trendkomponenten och den oregelbundna komponenten. För att uppskatta trendkomponenten i en icke-säsongsbetonad tidsserie som kan beskrivas med hjälp av en tillsatsmodell är det vanligt att använda en utjämningsmetod, såsom att beräkna det enkla glidande medeltalet av tiden Serien. SMA-funktionen i TTR R-paketet kan användas för att släta tidsseriedata med ett enkelt glidande medelvärde. För att använda denna funktion måste vi först installera TTR R-paketet för instruktioner om hur man installerar ett R-paket, se Så här Installera ett R-paket När du har installerat TTR R-paketet kan du ladda TTR R-paketet genom att skriva. Du kan sedan använda SMA-funktionen för att släta tidsseriedata För att använda SMA-funktionen måste du ange ordningsvolymen för Enkelt glidande medelvärde, med parametern n Till exempel för att beräkna ett enkelt glidande medelvärde av ordning 5, ställer vi n 5 i SMA-funktionen. Till exempel, som diskuterats ovan, tidsserien för dödsåldern av 42 på varandra följande kungar av England visas är icke-säsongsbetonat, Och kan förmodligen beskrivas med hjälp av en additivmodell, eftersom de slumpmässiga fluktuationerna i data är ungefär konstanta i storlek över tiden. Därför kan vi försöka uppskatta trendkomponenten i denna tidsserie genom utjämning med ett enkelt glidande medelvärde. För att mjuka tiden Serier som använder ett enkelt glidande medelvärde av ordning 3 och plottar de släta tidsseriedata som vi skriver. Det verkar fortfarande finnas ganska många slumpmässiga fluktuationer i tidsserierna släta med ett enkelt glidande medelvärde av order 3 Således uppskattar Trendkomponent mer noggrant kan vi försöka utjämna data med ett enkelt glidande medelvärde av en högre order. Det tar lite försök och fel för att hitta rätt mängd utjämning. Till exempel kan vi försöka använda en enkel Glidande medelvärdet av order 8. Dataen jämnades med ett enkelt glidande medelvärde av ordning 8 ger en tydligare bild av trendkomponenten och vi kan se att de engelska kungens dödslängd verkar ha minskat från ungefär 55 år till ab Ut 38 år gammal under de första 20 kungarnas regeringstid och ökade därefter efter det till cirka 73 år vid slutet av 40-talets regeringstid i tidsserierna. Komponering av säsongsdata. En säsongsbunden tidsserie består av en trend Komponent, en säsongsbeständig komponent och en oregelbunden komponent. Avkomponering av tidsserien innebär att tidsserierna separeras i dessa tre komponenter, som beräknar dessa tre komponenter. För att uppskatta trendkomponenten och säsongskomponenten i en säsongsbetonad tidsserie som kan beskrivas med hjälp av ett additiv Modell kan vi använda sönderdelningsfunktionen i R Denna funktion uppskattar trend, säsong och oregelbundna komponenter i en tidsserie som kan beskrivas med hjälp av en additivmodell. Funktionen sönderdelas returnerar ett listobjekt som ett resultat där uppskattningarna av Säsongskomponent, trendkomponent och oregelbunden komponent lagras i namngivna element i listförteckningarna, som kallas säsong, trend och slumpmässig respektive. Till exempel, som diskuteras Ed ovan är tidsserien för antalet födelser per månad i New York City säsongsbundet med en topp varje sommar och genom varje vinter och kan förmodligen beskrivas med hjälp av en tillsatsmodell, eftersom säsongs - och slumpmässiga fluktuationer tycks vara ungefär konstanta i Storlek över tiden. För att uppskatta trenden, säsongsbetonade och oregelbundna komponenter i denna tidsserie, skriver vi. De beräknade värdena för säsongs-, trend - och oregelbundna komponenter lagras nu i variabler birthstimeseriescomponents säsongsbetonade, birthstimeseriescomponents trend och birthstimeseriescomponents random. Till exempel kan vi Skriv ut de beräknade värdena för säsongskomponenten genom att skriva. De beräknade säsongsfaktorerna anges för månaderna januari-december och är desamma för varje år. Den största säsongsfaktorn är för juli ca 1 46 och den lägsta är för februari om -2 08, vilket tyder på att det förefaller vara en topp i födslar i juli och ett fett i födelsen i februari varje år. Vi kan rita den beräknade trenden, Säsongsmässiga och oregelbundna komponenter i tidsserierna med hjälp av plotfunktionen, till exempel. Plottan ovan visar den ursprungliga tidsserie toppen, den beräknade trendkomponenten andra uppifrån, den beräknade säsongskomponenten tredje från toppen och den uppskattade oregelbundna komponentens botten Vi ser att den beräknade trendkomponenten visar en liten minskning från ca 24 år 1947 till ca 22 år 1948, följt av en stadig ökning från och med till cirka 27 år 1959. Säsongsjustering. Om du har en säsongsbetonad tidsserie som kan beskrivas Med hjälp av en tillsatsmodell kan du säsongsmässigt justera tidsserierna genom att uppskatta säsongskomponenten och subtrahera den beräknade säsongskomponenten från de ursprungliga tidsserierna. Vi kan göra detta med uppskattningen av säsongskomponenten beräknad av sönderdelningsfunktionen. Till exempel Säsongsmässigt justera tidsserierna för antalet födelser per månad i New York City, kan vi uppskatta den säsongskomponenten med hjälp av sönderdela, och subtrahera sedan Säsongskomponent från de ursprungliga tidsserierna. Vi kan sedan plotta de säsongsrensade tidsserierna med hjälp av plottfunktionen genom att skriva. Du kan se att säsongsvariationen har tagits bort från säsongrensade tidsserier. Den säsongrensade tidsserien innehåller nu bara Trendkomponent och en oregelbunden komponent. Förutsatser med hjälp av exponentiell utjämning. Exponentialutjämning kan användas för att göra kortsiktiga prognoser för tidsseriedata. Simple Exponential Smoothing. If du har en tidsserie som kan beskrivas med hjälp av en tillsatsmodell med konstant nivå och Ingen säsonglighet, kan du använda enkel exponentiell utjämning för att göra kortsiktiga prognoser. Den enkla exponentiella utjämningsmetoden ger ett sätt att uppskatta nivån vid den aktuella tidpunkten Utjämning styrs av parametern alfa för uppskattning av nivån vid den aktuella tiden Punkt Värdet av alfa ligger mellan 0 och 1 Värden av alfa som ligger nära 0 menar att den lilla vikten placeras mest r Ecent observationer när prognoser av framtida värden. Till exempel innehåller filen total årlig nedgång i inches för London, från 1813-1912 ursprungliga data från Hipel och McLeod, 1994. Vi kan läsa in data i R och plotta den genom att skriva. Du kan Se från plottet att det är ungefär konstant nivå, är medelvärdet ständigt vid ca 25 tum. De slumpmässiga fluktuationerna i tidsserierna verkar vara ungefär konstant i storlek över tiden, så det är nog lämpligt att beskriva data med hjälp av en tillsatsmodell. Således, Vi kan göra prognoser med enkel exponentiell utjämning. För att göra prognoser med enkel exponentiell utjämning i R kan vi passa en enkel exponentiell utjämningsprognisk modell med funktionen HoltWinters i R För att använda HoltWinters för enkel exponentiell utjämning måste vi ställa in parametrarna beta FALSE Och gamma FALSE i HoltWinters-funktionen, används beta - och gamma-parametrarna för Holt s exponentiell utjämning eller Holt-Winters exponentiell utjämning, enligt beskrivningen nedan. HoltWinters-funktionen returnerar en listvariabel som innehåller flera namngivna element. Till exempel, för att använda enkel exponentiell utjämning för att göra prognoser för tidsserierna av det årliga nederbördet i London, skriver vi. Utgången från HoltWinters berättar att det uppskattade värdet av alfa Parametern är cirka 0 024 Detta är väldigt nära noll, vilket beror på att prognoserna baseras på både senaste och färre senaste observationer, även om det läggs lite mer vikt på de senaste observationerna. Som standard gör HoltWinters bara prognoser för samma tidsperiod som omfattas av Vår ursprungliga tidsserier I det här fallet inkluderade vår ursprungliga tidsserie nederbörd för London från 1813-1912, så prognoserna är också för 1813-1912.I exemplet ovan har vi lagrat outputen av HoltWinters-funktionen i liströrelserna rainseriesforecasts Prognoserna som gjorts av HoltWinters lagras i ett namngivna element i denna listvariabel som kallas monterad, så vi kan få sina värden genom att skriva. Vi kan plotta den ursprungliga tiden se Ries mot prognoserna genom att skriva. Plotet visar de ursprungliga tidsserierna i svart och prognoserna som en röd linje. Tidsserierna av prognoser är mycket mjukare än tidsserierna för de ursprungliga uppgifterna här. Som ett mått på noggrannheten hos Prognoser kan vi beräkna summan av kvadratfel för prognosfel, det vill säga prognosfel för tidsperioden som omfattas av våra ursprungliga tidsserier. Summan av kvadratfel lagras i ett namngivet element i Lista variabel rainseriesforecasts kallas SSE, så vi kan få sitt värde genom att skriva. Det är här summan av kvadratfel är 1828 855. Det är vanligt vid enkel exponentiell utjämning att använda det första värdet i tidsserierna som den första Värde för nivån Till exempel i tidsserierna för nederbörd i London är det första värdet 23 56 tum för nederbörd 1813 Du kan ange initialvärdet för nivån i HoltWinters-funktionen med hjälp av parametern Till exempel för att göra prognoser Med initialvärdet Av nivån satt till 23 56 skriver vi. Som förklaras ovan presenterar HoltWinters som standard prognoser för tidsperioden som omfattas av de ursprungliga uppgifterna, vilket är 1813-1912 för regnskurens tidsserier. Vi kan göra prognoser för ytterligare tidspunkter efter Använder funktionen i R-prospektpaketet För att kunna använda funktionen måste vi först installera prognospaketet för instruktioner om hur man installerar ett R-paket, se Så här installerar du ett R-paket. När du har installerat prognospaketet R Kan ladda prognos R-paketet genom att skriva. När du använder funktionen, som den första argumentinmatningen, skickar du den den prediktiva modellen som du redan har monterat med HoltWinters-funktionen. Till exempel, när det gäller regnskurets tidsserie lagrade vi Prediktiv modell gjord med HoltWinters i variabla rainseriesforecasts Du anger hur många ytterligare tidspunkter du vill göra prognoser för genom att använda h-parametern i Exempel, för att göra en prognos om nederbörd för åren 1814-1820 8 mo Re år använder vi typ. Funktionen ger dig prognosen för ett år, ett 80 förutsägelseintervall för prognosen och ett 95 förutsägelsesintervall för prognosen. Till exempel är det prognostiserade nedgången för 1920 ca 24 68 tum, med en 95 förutsägelse Intervall på 16 24, 33 11. För att plotta förutsägelserna som gjorts av vi kan använda funktionen. Här prognoser för 1913-1920 ritas som en blå linje, 80 prediktionsintervallet som ett orange skuggat område och 95 förutsägelseintervallet som Ett gult skuggat område. Prognosfelen beräknas som de observerade värdena minus förutsagda värden för varje tidpunkt. Vi kan bara beräkna prognosfel för den tidsperiod som omfattas av våra ursprungliga tidsserier, vilket är 1813-1912 för regndata As Ovan nämnda, ett mått på noggrannheten i den prediktiva modellen är summan av kvadratfel SSE för prognosfel. Provprognosfelen lagras i de angivna elementresidenterna i listvariabeln returnerad av If Förutsäga Ive-modellen kan inte förbättras, bör det inte finnas några korrelationer mellan prognosfel för successiva förutsägelser. Med andra ord, om det finns samband mellan prognosfel för successiva förutsägelser, är det troligt att de enkla exponentiella utjämningsprognoserna kan förbättras med en annan prognosteknik. För att få reda på om så är fallet kan vi få ett korrelogram av prognosfel för lags 1-20. Vi kan beräkna ett korrelogram av prognosfel med acf-funktionen i R För att ange den maximala lagring som vi vill ha För att se på, använder vi parametern i acf. For exempel, för att beräkna ett korrelogram av prognosfel för Londons regndata för lags 1-20, skriver vi. Du kan se från provkorrelogrammet att autokorrelationen vid Fördröjning 3 berör bara signifikansgränserna För att testa om det finns signifikanta bevis för icke-nollkorrelationer vid lags 1-20 kan vi utföra ett Ljung-Box-test Detta kan göras i R med hjälp av, Funktion Den maximala fördröjningen som vi vill titta på är specificerad med hjälp av lagsparametern i funktionen Till exempel, för att testa om det finns autokorrelationer utan noll vid lags 1-20, för prognosfel för Londons regndata, vi Typ. Här är Ljung-Box-teststatistiken 17 4 och p-värdet är 0 6, så det finns få tecken på autokorrelationer utan noll i prognosfelen vid lags 1-20. För att vara säker på att Prediktiv modell kan inte förbättras på, är det också en bra idé att kontrollera om prognosfel normalt fördelas med medelvärde noll och konstant varians. För att kontrollera om prognosfelen har konstant varians kan vi göra en tidsplan av prognosprognosen Fel. Plotet visar att proverfelproblemen verkar ha ungefär konstant varians över tiden, även om svängningarna i början av tidsserien 1820-1830 kan vara något mindre än vid senare tidpunkter, t. ex. 1840-1850.Till kontrollera om prognosfelen är Normalt distribuerad med medelvärdet noll kan vi avbilda ett histogram av prognosfel med en överlagrad normal kurva som har medelvärde noll och samma standardavvikelse som fördelningen av prognosfel. För att göra detta kan vi definiera en R-funktion plotForecastErrors nedan. Du måste kopiera funktionen ovan till R för att kunna använda den. Du kan sedan använda plotForecastErrors för att plotta ett histogram med överlagrad normal kurva för prognosfel för regnskyddsprognoserna. Plot visar att fördelningen av prognosfel centreras ungefär på Noll, och är mer eller mindre normalt distribuerad, även om det verkar vara något snett åt höger jämfört med en normal kurva. Den rätta skeven är emellertid relativt liten, och det är sålunda troligt att prognosfel normalt fördelas med medelvärdet. Ljung-Box-testet visade att det inte finns några bevis på autokorrelationer utan noll i prognosfel, och fördelningen av prognosfel verkar normalt distribueras Buted med medel noll Detta föreslår att den enkla exponentiella utjämningsmetoden ger en adekvärd prediktiv modell för nederbördsfallet, vilket förmodligen inte kan förbättras. Vidare antogs att antagandena att intervallerna 80 och 95 var baserade på att det inte finns några autokorrelationer i prognosfel , Och prognosfelen distribueras normalt med medelvärdet noll och konstant varians är förmodligen giltig. Höjd s Exponentiell utjämning. Om du har en tidsserie som kan beskrivas med en additivmodell med ökande eller minskande trend och ingen säsongsmässighet, kan du använda Holt S exponentiella utjämning för att göra kortsiktiga prognoser. Haltens exponentiella utjämning uppskattar nivån och lutningen vid nuvarande tidpunkt. Utjämning styrs av två parametrar, alfa, för uppskattning av nivån vid den aktuella tidpunkten och beta för uppskattningen Av trendkomponentens lutning b vid nuvarande tidpunkt Som med enkel exponentiell utjämning, parametrarna alfa och b Eta har värden mellan 0 och 1 och värden som ligger nära 0 betyder att den lilla vikten placeras på de senaste observationerna när man gör prognoser för framtida värden. Ett exempel på en tidsserie som troligen kan beskrivas med hjälp av en tillsatsmodell med en Trend och ingen säsongsmässighet är tidsserierna för den årliga diametern hos kvinnors kjolar vid kanten, från 1866 till 1911. Data finns i filens ursprungliga data från Hipel och McLeod, 1994. Vi kan läsa in och plotta data i R Genom att skriva. Vi kan se från diagrammet att det var en ökning av håldiameter från ca 600 år 1866 till ca 1050 år 1880, och att efteråt minskade håldiametern till ca 520 år 1911. För att göra prognoser kan vi passa ett prediktivt Modell med HoltWinters-funktionen i R För att använda HoltWinters för Holt s exponentiell utjämning måste vi ställa in parametern gamma FALSE, gamma-parametern används för Holt-Winters exponentiell utjämning, som beskrivs nedan. Exempelvis använder du Holt s exponentiell utjämning till fi Ta prediktiv modell för kjolkroppsdiameter, typar vi. Det uppskattade värdet av alfa är 0 84 och av beta är 1 00 Dessa är båda höga och berättar för oss att både uppskattningen av nuvärdet av nivån och höjden b Av trendkomponenten baseras huvudsakligen på väldigt nya observationer i tidsserierna. Detta ger en bra intuitiv känsla, eftersom tidsseriens nivå och höjning både förändras ganska mycket över tiden. Värdet av summa av kvadratfel För prognosfel är 16954. Vi kan plotta de ursprungliga tidsserierna som en svart linje med de prognostiserade värdena som en röd linje ovanpå, genom att skriva. Vi kan se från bilden att proverna i proverna Håller ganska bra med de observerade värdena, även om de tenderar att ligga bakom de observerade värdena lite. Om du vill kan du ange initialvärdena för nivån och höjden b av trendkomponenten genom att använda och argumentera för HoltWinters Funktion Det är vanligt att ställa in levans initialvärde El till det första värdet i tidsserierna 608 för kjoldata och det initiala värdet av lutningen till det andra värdet minus det första värdet 9 för kjoldatan. Till exempel, för att passa en prediktiv modell till kjolens hemdata med hjälp av Holt S exponentiella utjämning med initialvärden på 608 för nivån och 9 för höjden b i trendkomponenten, vi skriver. För enkel exponentiell utjämning kan vi göra prognoser för framtida tider som inte täcks av de ursprungliga tidsserierna genom att använda funktionen I prognospaketet Exempelvis var vår tidsseriedata för kjolar i 1866 till 1911, så vi kan förutspå 1912 till 1930 19 fler datapunkter och plotta dem genom att skriva. Prognoserna visas som en blå linje, Med de 80 prediktionsintervallen som ett orange skuggat område och de 95 prediktionsintervallen som ett gult skuggat område. För enkel exponentiell utjämning kan vi kontrollera om den prediktiva modellen skulle kunna förbättras genom att kontrollera om prognosfel i prover visar icke - ZE Ro autokorrelationer vid lags 1-20. Till exempel kan vi göra ett korrelogram för skirthemdata och utföra Ljung-Box-testet genom att skriva. Här visar korrelogrammet att provautokorrelationen för proverna förutspår fel vid Lag 5 överstiger signifikansgränserna Vi förväntar oss emellertid att en av 20 autokorrelationer för de första tjugo lagsna överskrider 95 signifikansgränserna av en slump ensam. När vi utför Ljung-Box-testet är p-värdet 0 47 , Vilket indikerar att det finns få tecken på autokorrelationer utan noll i prognosfelen vid lags 1-20.As för enkel exponentiell utjämning, bör vi också kontrollera att prognosfelen har konstant variation över tid och distribueras normalt med Medelvärde noll Vi kan göra detta genom att göra en tidpunkt för prognosfel och ett histogram av fördelningen av prognosfel med en överlagrad normal kurva. Tidsschemat för prognosfel visar att prognosfelen har ungefär konstant varians över t Ime Histogrammet för prognosfel visar att det är rimligt att prognosfel normalt fördelas med medelvärde noll och konstant varians. Därför visar Ljung-Box-testet att det finns få tecken på autokorrelationer i prognosfel, medan tiden plottar och Histogram av prognosfel visar att det är rimligt att prognosfel normalt fördelas med medelvärde noll och konstant varians. Därför kan vi dra slutsatsen att Holts exponentiella utjämning ger en adekvärd prediktiv modell för kjolhåldiametrar, vilket förmodligen inte kan förbättras på , Betyder det att antagandena att 80 och 95 förutsägelserna var baserade på är förmodligen giltiga. Helt-Winters Exponentiell utjämning. Om du har en tidsserie som kan beskrivas med en additivmodell med ökande eller minskande trend och säsonglighet, kan du Använd Holt-Winters exponentiella utjämning för att göra kortsiktiga prognoser. Holtsvinters exponentiella utjämning uppskattar nivån, lutningen Och säsongskomponent vid aktuell tidpunkt Utjämning styrs av tre parametrar alfa, beta och gamma för uppskattningar av nivå, höjning b av trendkomponenten och säsongskomponenten vid aktuell tidpunkt Parametrarna alfa , Beta och gamma har alla värden mellan 0 och 1 och värden som ligger nära 0 betyder att relativt liten vikt läggs på de senaste observationerna när man gör prognoser för framtida värden. Ett exempel på en tidsserie som förmodligen kan beskrivas med användning av En tilläggsmodell med trend och säsongsmässighet är tidsserien av loggen med månadsförsäljning till souvenirbutiken vid en strandortstad i Queensland, Australien som diskuteras ovan. För att göra prognoser kan vi passa en prediktiv modell med funktionen HoltWinters Till exempel , För att passa en prediktiv modell för loggen i månadsförsäljningen i souvenirbutiken skriver vi. De uppskattade värdena för alfa, beta och gamma är 0 41, 0 00 respektive 0 96. Värdet av alfa 0 41 är relativt låg vilket indikerar att uppskattningen av nivån vid den aktuella tidpunkten är baserad på både senaste observationer och några observationer i det längre avståndet. Betalningsvärdet är 0 00, vilket indikerar att uppskattningen av höjden b av trenden Komponenten är inte uppdaterad över tidsserierna och ställs i stället lika med det ursprungliga värdet. Detta ger en bra intuitiv känsla, eftersom nivån förändras ganska lite över tidsserien men höjden b av trendkomponenten förblir ungefär densamma. I kontrast Värdet av gamma 0 96 är högt, vilket indikerar att uppskattningen av säsongskomponenten vid den aktuella tidpunkten bara är baserad på mycket senaste observationer. För enkel exponentiell utjämning och Holt s exponentiell utjämning kan vi plotta de ursprungliga tidsserierna som En svart linje med de prognostiserade värdena som en röd linje ovanpå. Vi ser från plot att Holt-Winters exponentiella metod är mycket framgångsrik när det gäller att förutsäga säsongstopparna, som uppträder ungefär i Novemborg Varje år. För att göra prognoser för framtida tider som inte ingår i de ursprungliga tidsserierna använder vi funktionen i prognospaketet. Till exempel är de ursprungliga uppgifterna för souvenirförsäljningen från januari 1987 till december 1993 om vi ville göra prognoser för Januari 1994 till december 1998 48 fler månader och prognoser vi skulle skriva. Prognoserna visas som en blå linje och de orange och gula skuggade områdena visar 80 respektive 95 prediktionsintervall. Vi kan undersöka om den prediktiva modellen Kan förbättras genom att kontrollera om felprovprognosfel visar autokorrelationer utan noll vid lags 1-20 genom att göra ett korrelogram och genomföra Ljung-Box-testet. Korrelogrammet visar att autokorrelationerna för proverna för prognosprognoser Överstiger inte gränsvärdena för lags 1-20 Vidare är p-värdet för Ljung-Box-testet 0 6 vilket indikerar att det finns få tecken på autokorrelationer utan noll vid lags 1-20. Vi kan kontrollera om foreca St fel har konstant varians över tiden och distribueras normalt med medel noll, genom att göra en tidpunkt för prognosfel och ett histogram med överlagrad normal kurva. Från tidpunkten är det troligt att prognosfelen har konstant varians över tid Från histogrammet av prognosfel verkar det troligt att prognosfel normalt fördelas med medelvärde. Därför finns det få tecken på autokorrelation vid lags 1-20 för prognosfel och prognosfel verkar normalt fördelas med medelvärdet zero and constant variance over time This suggests that Holt-Winters exponential smoothing provides an adequate predictive model of the log of sales at the souvenir shop, which probably cannot be improved upon Furthermore, the assumptions upon which the prediction intervals were based are probably valid. ARIMA Models. Exponential smoothing methods are useful for making forecasts, and make no assumptions about the correlations between successive values of the time series However, if you want to make prediction intervals for forecasts made using exponential smoothing methods, the prediction intervals require that the forecast errors are uncorrelated and are normally distributed with mean zero and constant variance. While exponential smoothing methods do not make any assumptions about correlations between successive values of the time series, in some cases you can make a better predictive model by taking correlations in the data into account Autoregressive Integrated Moving Average ARIMA models include an explicit statistical model for the irregular component of a time series, that allows for non-zero autocorrelations in the irregular component. Differencing a Time Series. ARIMA models are defined for stationary time series Therefore, if you start off with a non-stationary time series, you will first need to difference the time series until you obtain a stationary time series If you have to difference the time series d times to ob tain a stationary series, then you have an ARIMA p, d,q model, where d is the order of differencing used. You can difference a time series using the diff function in R For example, the time series of the annual diameter of women s skirts at the hem, from 1866 to 1911 is not stationary in mean, as the level changes a lot over time. We can difference the time series which we stored in skirtsseries , see above once, and plot the differenced series, by typing. The resulting time series of first differences above does not appear to be stationary in mean Therefore, we can difference the time series twice, to see if that gives us a stationary time series. Formal tests for stationarity. Formal tests for stationarity called unit root tests are available in the fUnitRoots package, available on CRAN, but will not be discussed here. The time series of second differences above does appear to be stationary in mean and variance, as the level of the series stays roughly constant over time, and the variance o f the series appears roughly constant over time Thus, it appears that we need to difference the time series of the diameter of skirts twice in order to achieve a stationary series. If you need to difference your original time series data d times in order to obtain a stationary time series, this means that you can use an ARIMA p, d,q model for your time series, where d is the order of differencing used For example, for the time series of the diameter of women s skirts, we had to difference the time series twice, and so the order of differencing d is 2 This means that you can use an ARIMA p,2,q model for your time series The next step is to figure out the values of p and q for the ARIMA model. Another example is the time series of the age of death of the successive kings of England see above. From the time plot above , we can see that the time series is not stationary in mean To calculate the time series of first differences, and plot it, we type. The time series of first differences appears to be stationary in mean and variance, and so an ARIMA p,1,q model is probably appropriate for the time series of the age of death of the kings of England By taking the time series of first differences, we have removed the trend component of the time series of the ages at death of the kings, and are left with an irregular component We can now examine whether there are correlations between successive terms of this irregular component if so, this could help us to make a predictive model for the ages at death of the kings. Selecting a Candidate ARIMA Model. If your time series is stationary, or if you have transformed it to a stationary time series by differencing d times, the next step is to select the appropriate ARIMA model, which means finding the values of most appropriate values of p and q for an ARIMA p, d,q model To do this, you usually need to examine the correlogram and partial correlogram of the stationary time series. To plot a correlogram and partial correlogram, we can use the a cf and pacf functions in R, respectively To get the actual values of the autocorrelations and partial autocorrelations, we set plot FALSE in the acf and pacf functions. Example of the Ages at Death of the Kings of England. For example, to plot the correlogram for lags 1-20 of the once differenced time series of the ages at death of the kings of England, and to get the values of the autocorrelations, we type. We see from the correlogram that the autocorrelation at lag 1 -0 360 exceeds the significance bounds, but all other autocorrelations between lags 1-20 do not exceed the significance bounds. To plot the partial correlogram for lags 1-20 for the once differenced time series of the ages at death of the English kings, and get the values of the partial autocorrelations, we use the pacf function, by typing. The partial correlogram shows that the partial autocorrelations at lags 1, 2 and 3 exceed the significance bounds, are negative, and are slowly decreasing in magnitude with increasing lag lag 1 -0 360, lag 2 -0 335, lag 3 -0 321 The partial autocorrelations tail off to zero after lag 3.Since the correlogram is zero after lag 1, and the partial correlogram tails off to zero after lag 3, this means that the following ARMA autoregressive moving average models are possible for the time series of first differences. an ARMA 3,0 model, that is, an autoregressive model of order p 3, since the partial autocorrelogram is zero after lag 3, and the autocorrelogram tails off to zero although perhaps too abruptly for this model to be appropriate. an ARMA 0,1 model, that is, a moving average model of order q 1, since the autocorrelogram is zero after lag 1 and the partial autocorrelogram tails off to zero. an ARMA p, q model, that is, a mixed model with p and q greater than 0, since the autocorrelogram and partial correlogram tail off to zero although the correlogram probably tails off to zero too abruptly for this model to be appropriate. We use the principle of parsimony to decide which model is best that is, we assume that the model with the fewest parameters is best The ARMA 3,0 model has 3 parameters, the ARMA 0,1 model has 1 parameter, and the ARMA p, q model has at least 2 parameters Therefore, the ARMA 0,1 model is taken as the best model. An ARMA 0,1 model is a moving average model of order 1, or MA 1 model This model can be written as Xt - mu Zt - theta Zt-1 , where Xt is the stationary time series we are studying the first differenced series of ages at death of English kings , mu is the mean of time series Xt, Zt is white noise with mean zero and constant variance, and theta is a parameter that can be estimated. A MA moving average model is usually used to model a time series that shows short-term dependencies between successive observations Intuitively, it makes good sense that a MA model can be used to describe the irregular component in the time series of ages at death of English kings, as we might expect the age at death of a particular English king to have some effect on the ages at death of the next king or two, but not much effect on the ages at death of kings that reign much longer after that. Shortcut the function. The function can be used to find the appropriate ARIMA model, eg type library forecast , then The output says an appropriate model is ARIMA 0,1,1.Since an ARMA 0,1 model with p 0, q 1 is taken to be the best candidate model for the time series of first differences of the ages at death of English kings, then the original time series of the ages of death can be modelled using an ARIMA 0,1,1 model with p 0, d 1, q 1, where d is the order of differencing required. Example of the Volcanic Dust Veil in the Northern Hemisphere. Let s take another example of selecting an appropriate ARIMA model The file file contains data on the volcanic dust veil index in the northern hemisphere, from 1500-1969 original data from Hipel and Mcleod, 1994 This is a measure of the impact of volcanic eruptions release of dust and aerosols into the environ ment We can read it into R and make a time plot by typing. From the time plot, it appears that the random fluctuations in the time series are roughly constant in size over time, so an additive model is probably appropriate for describing this time series. Furthermore, the time series appears to be stationary in mean and variance, as its level and variance appear to be roughly constant over time Therefore, we do not need to difference this series in order to fit an ARIMA model, but can fit an ARIMA model to the original series the order of differencing required, d, is zero here. We can now plot a correlogram and partial correlogram for lags 1-20 to investigate what ARIMA model to use. We see from the correlogram that the autocorrelations for lags 1, 2 and 3 exceed the significance bounds, and that the autocorrelations tail off to zero after lag 3 The autocorrelations for lags 1, 2, 3 are positive, and decrease in magnitude with increasing lag lag 1 0 666, lag 2 0 374, lag 3 0 162.The autoco rrelation for lags 19 and 20 exceed the significance bounds too, but it is likely that this is due to chance, since they just exceed the significance bounds especially for lag 19 , the autocorrelations for lags 4-18 do not exceed the signifiance bounds, and we would expect 1 in 20 lags to exceed the 95 significance bounds by chance alone. From the partial autocorrelogram, we see that the partial autocorrelation at lag 1 is positive and exceeds the significance bounds 0 666 , while the partial autocorrelation at lag 2 is negative and also exceeds the significance bounds -0 126 The partial autocorrelations tail off to zero after lag 2.Since the correlogram tails off to zero after lag 3, and the partial correlogram is zero after lag 2, the following ARMA models are possible for the time series. an ARMA 2,0 model, since the partial autocorrelogram is zero after lag 2, and the correlogram tails off to zero after lag 3, and the partial correlogram is zero after lag 2.an ARMA 0,3 model, since t he autocorrelogram is zero after lag 3, and the partial correlogram tails off to zero although perhaps too abruptly for this model to be appropriate. an ARMA p, q mixed model, since the correlogram and partial correlogram tail off to zero although the partial correlogram perhaps tails off too abruptly for this model to be appropriate. Shortcut the function. Again, we can use to find an appropriate model, by typing , which gives us ARIMA 1,0,2 , which has 3 parameters However, different criteria can be used to select a model see help page If we use the bic criterion, which penalises the number of parameters, we get ARIMA 2,0,0 , which is ARMA 2,0 bic. The ARMA 2,0 model has 2 parameters, the ARMA 0,3 model has 3 parameters, and the ARMA p, q model has at least 2 parameters Therefore, using the principle of parsimony, the ARMA 2,0 model and ARMA p, q model are equally good candidate models. An ARMA 2,0 model is an autoregressive model of order 2, or AR 2 model This model can be written as Xt - m u Beta1 Xt-1 - mu Beta2 Xt-2 - mu Zt, where Xt is the stationary time series we are studying the time series of volcanic dust veil index , mu is the mean of time series Xt, Beta1 and Beta2 are parameters to be estimated, and Zt is white noise with mean zero and constant variance. An AR autoregressive model is usually used to model a time series which shows longer term dependencies between successive observations Intuitively, it makes sense that an AR model could be used to describe the time series of volcanic dust veil index, as we would expect volcanic dust and aerosol levels in one year to affect those in much later years, since the dust and aerosols are unlikely to disappear quickly. If an ARMA 2,0 model with p 2, q 0 is used to model the time series of volcanic dust veil index, it would mean that an ARIMA 2,0,0 model can be used with p 2, d 0, q 0, where d is the order of differencing required Similarly, if an ARMA p, q mixed model is used, where p and q are both greater than zero, th an an ARIMA p,0,q model can be used. Forecasting Using an ARIMA Model. Once you have selected the best candidate ARIMA p, d,q model for your time series data, you can estimate the parameters of that ARIMA model, and use that as a predictive model for making forecasts for future values of your time series. You can estimate the parameters of an ARIMA p, d,q model using the arima function in R. Example of the Ages at Death of the Kings of England. For example, we discussed above that an ARIMA 0,1,1 model seems a plausible model for the ages at deaths of the kings of England You can specify the values of p, d and q in the ARIMA model by using the order argument of the arima function in R To fit an ARIMA p, d,q model to this time series which we stored in the variable kingstimeseries , see above , we type. As mentioned above, if we are fitting an ARIMA 0,1,1 model to our time series, it means we are fitting an an ARMA 0,1 model to the time series of first differences An ARMA 0,1 model can be written Xt - mu Zt - theta Zt-1 , where theta is a parameter to be estimated From the output of the arima R function above , the estimated value of theta given as ma1 in the R output is -0 7218 in the case of the ARIMA 0,1,1 model fitted to the time series of ages at death of kings. Specifying the confidence level for prediction intervals. You can specify the confidence level for prediction intervals in by using the level argument For example, to get a 99 5 prediction interval, we would type h 5, level c 99 5.We can then use the ARIMA model to make forecasts for future values of the time series, using the function in the forecast R package For example, to forecast the ages at death of the next five English kings, we type. The original time series for the English kings includes the ages at death of 42 English kings The function gives us a forecast of the age of death of the next five English kings kings 43-47 , as well as 80 and 95 prediction intervals for those predictions The age of death of th e 42nd English king was 56 years the last observed value in our time series , and the ARIMA model gives the forecasted age at death of the next five kings as 67 8 years. We can plot the observed ages of death for the first 42 kings, as well as the ages that would be predicted for these 42 kings and for the next 5 kings using our ARIMA 0,1,1 model, by typing. As in the case of exponential smoothing models, it is a good idea to investigate whether the forecast errors of an ARIMA model are normally distributed with mean zero and constant variance, and whether the are correlations between successive forecast errors. For example, we can make a correlogram of the forecast errors for our ARIMA 0,1,1 model for the ages at death of kings, and perform the Ljung-Box test for lags 1-20, by typing. Since the correlogram shows that none of the sample autocorrelations for lags 1-20 exceed the significance bounds, and the p-value for the Ljung-Box test is 0 9, we can conclude that there is very little evi dence for non-zero autocorrelations in the forecast errors at lags 1-20.To investigate whether the forecast errors are normally distributed with mean zero and constant variance, we can make a time plot and histogram with overlaid normal curve of the forecast errors. The time plot of the in-sample forecast errors shows that the variance of the forecast errors seems to be roughly constant over time though perhaps there is slightly higher variance for the second half of the time series The histogram of the time series shows that the forecast errors are roughly normally distributed and the mean seems to be close to zero Therefore, it is plausible that the forecast errors are normally distributed with mean zero and constant variance. Since successive forecast errors do not seem to be correlated, and the forecast errors seem to be normally distributed with mean zero and constant variance, the ARIMA 0,1,1 does seem to provide an adequate predictive model for the ages at death of English kings. E xample of the Volcanic Dust Veil in the Northern Hemisphere. We discussed above that an appropriate ARIMA model for the time series of volcanic dust veil index may be an ARIMA 2,0,0 model To fit an ARIMA 2,0,0 model to this time series, we can type. As mentioned above, an ARIMA 2,0,0 model can be written as written as Xt - mu Beta1 Xt-1 - mu Beta2 Xt-2 - mu Zt, where Beta1 and Beta2 are parameters to be estimated The output of the arima function tells us that Beta1 and Beta2 are estimated as 0 7533 and -0 1268 here given as ar1 and ar2 in the output of arima. Now we have fitted the ARIMA 2,0,0 model, we can use the model to predict future values of the volcanic dust veil index The original data includes the years 1500-1969 To make predictions for the years 1970-2000 31 more years , we type. We can plot the original time series, and the forecasted values, by typing. One worrying thing is that the model has predicted negative values for the volcanic dust veil index, but this variable can only have positive values The reason is that the arima and functions don t know that the variable can only take positive values Clearly, this is not a very desirable feature of our current predictive model. Again, we should investigate whether the forecast errors seem to be correlated, and whether they are normally distributed with mean zero and constant variance To check for correlations between successive forecast errors, we can make a correlogram and use the Ljung-Box test. The correlogram shows that the sample autocorrelation at lag 20 exceeds the significance bounds However, this is probably due to chance, since we would expect one out of 20 sample autocorrelations to exceed the 95 significance bounds Furthermore, the p-value for the Ljung-Box test is 0 2, indicating that there is little evidence for non-zero autocorrelations in the forecast errors for lags 1-20.To check whether the forecast errors are normally distributed with mean zero and constant variance, we make a time plot of the forecast errors, and a histogram. The time plot of forecast errors shows that the forecast errors seem to have roughly constant variance over time However, the time series of forecast errors seems to have a negative mean, rather than a zero mean We can confirm this by calculating the mean forecast error, which turns out to be about -0 22.The histogram of forecast errors above shows that although the mean value of the forecast errors is negative, the distribution of forecast errors is skewed to the right compared to a normal curve Therefore, it seems that we cannot comfortably conclude that the forecast errors are normally distributed with mean zero and constant variance Thus, it is likely that our ARIMA 2,0,0 model for the time series of volcanic dust veil index is not the best model that we could make, and could almost definitely be improved upon. Links and Further Reading. Here are some links for further reading. For a more in-depth introduction to R, a good online tutorial is available on the Kickstarting R website. There is another nice slightly more in-depth tutorial to R available on the Introduction to R website. You can find a list of R packages for analysing time series data on the CRAN Time Series Task View webpage. To learn about time series analysis, I would highly recommend the book Time series product code M249 02 by the Open University, available from the Open University Shop. There are two books available in the Use R series on using R for time series analyses, the first is Introductory Time Series with R by Cowpertwait and Metcalfe, and the second is Analysis of Integrated and Cointegrated Time Series with R by Pfaff. I am grateful to Professor Rob Hyndman for kindly allowing me to use the time series data sets from his Time Series Data Library TSDL in the examples in this booklet. Many of the examples in this booklet are inspired by examples in the excellent Open University book, Time series product code M249 02 , available from the Open University Shop. Tha nk you to Ravi Aranke for bringing to my attention, and Maurice Omane-Adjepong for bringing unit root tests to my attention, and Christian Seubert for noticing a small bug in plotForecastErrors Thank you for other comments to Antoine Binard and Bill Johnston. I will be grateful if you will send me Avril Coghlan corrections or suggestions for improvements to my email address alc sanger ac uk.
Comments
Post a Comment